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<title>Ordinalzahl</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Ordinalzahl</h1>

</header>

</div>

Ordinalzahlen sind <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematische</a> Objekte, die das Konzept der Position oder des Index eines Elementes in einer <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> auf <a href="Wohlordnung" title="Wohlordnung">Wohlordnungen</a> über beliebigen <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Mengen</a> verallgemeinern. Positionen in Folgen werden als <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahlen" class="mw-redirect" title="Natürliche Zahlen">natürliche Zahlen</a> aufgefasst (sprachlich durch die <a href="Ordinalia" class="mw-redirect" title="Ordinalia">Ordinalia</a> erstes, zweites, drittes, … Element ausgedrückt), welche die endlichen Ordinalzahlen bilden. Entscheidend bei dieser Verallgemeinerung ist, dass wie bei Folgen eine kleinste Position (die Ordinalzahl <a href="Null" title="Null">Null</a>) existiert und jedes Element (mit Ausnahme eines eventuell vorhandenen letzten Elements) einen eindeutigen Nachfolger hat. Da totale <a href="Ordnungsrelation" title="Ordnungsrelation">Anordnungen</a>, die diese Bedingungen erfüllen, immer noch sehr verschiedene Strukturen haben können, führt man als zusätzliche Bedingung ein, dass es zu jeder <a href="Leere_Menge" title="Leere Menge">nichtleeren</a> <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> von Indizes einen minimalen Index geben soll, und gelangt so zu Wohlordnungen.

Ordinalzahlen erlauben die Verallgemeinerung der auf Folgen beschränkten Beweisverfahren der <a href="Vollst%C3%A4ndige_Induktion" title="Vollständige Induktion">vollständigen Induktion</a> auf beliebig große Mengen oder auch <a href="Echte_Klasse" class="mw-redirect" title="Echte Klasse">echte Klassen</a>, sofern sie sich wohlordnen lassen, mittels des Verfahrens der <a href="Transfinite_Induktion" title="Transfinite Induktion">transfiniten Induktion</a>.

Die Beschreibung der Größe einer Menge, naiv gesprochen der Anzahl ihrer Elemente, führt im Gegensatz dazu zu dem Begriff <a href="Kardinalzahl_(Mathematik)" title="Kardinalzahl (Mathematik)">Kardinalzahl</a> (eins, zwei, drei, …).

<a href="Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> hatte die Idee, wie man die beiden Konzepte – Zahl als Größe und Zahl als Index – innerhalb der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a> auf <a href="Unendliche_Menge" title="Unendliche Menge">unendliche Mengen</a> verallgemeinern kann; denn während sie für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Kardinalzahlen werden dabei als spezielle Ordinalzahlen definiert. Die Gesamtheit der Ordinalzahlen, die man meistens mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {On} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {On} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df3720993ab82325279db5cae4b5c33066ed839b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {On} }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Ord} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Ord} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48fb9d3fcba212c947ac9f4cabcf6f0968f91dfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.012ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Ord} }" loading="lazy"> bezeichnet, bildet in der modernen Mengenlehre – genauso wie die Gesamtheit der Kardinalzahlen – keine Menge, sondern eine <a href="Echte_Klasse" class="mw-redirect" title="Echte Klasse">echte Klasse</a>.

Für viele dieser Überlegungen (wie etwa transfinite Induktion und die Definition von Kardinalzahlen als Ordinalzahlen) ist das <a href="Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxiom</a> bzw. der dazu äquivalente <a href="Wohlordnungssatz" title="Wohlordnungssatz">Wohlordnungssatz</a> vonnöten.

Ordinalzahlen sind von besonderer Bedeutung für die Mengenlehre, in anderen Gebieten der Mathematik werden auch andere verallgemeinerte Indizierungen verwendet, etwa in <a href="Netz_(Topologie)" title="Netz (Topologie)">Netzen</a> und <a href="Filter_(Mathematik)" title="Filter (Mathematik)">Filtern</a>, die von besonderer Bedeutung für die <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> sind und über anderen Ordnungen als Wohlordnungen operieren. Insbesondere verallgemeinern diese verallgemeinerten Indizierungen im Gegensatz zu Ordinalzahlen das für Folgen wichtige Konzept der <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Konvergenz</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte_der_Entdeckung">Geschichte der Entdeckung</h2></div>

Der moderne mathematische Begriff der Ordinalzahlen wurde maßgeblich von dem Mathematiker Georg Cantor entwickelt. Die grundlegende Idee fand er bei Untersuchungen über die Eindeutigkeit der Darstellung reeller Funktionen durch <a href="Trigonometrisches_Polynom#Trigonometrische_Reihe" title="Trigonometrisches Polynom">trigonometrische Reihen</a>. Allerdings erwies sich die Ordinalzahltheorie für diese Untersuchungen letztlich nicht als fruchtbar.

Aus Vorarbeiten von <a href="Eduard_Heine" title="Eduard Heine">Eduard Heine</a> war bekannt, dass die im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\pi ,\pi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\pi ,\pi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72c36ae0b6df166895be75651d237fd87298e566.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.315ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\pi ,\pi )}" loading="lazy"> stetigen Funktionen eine eindeutige Darstellung als trigonometrische Reihen haben. Cantor zeigte (1870), dass dies für jede Funktion richtig ist, deren trigonometrische Reihe überall <a href="Trigonometrisches_Polynom#Konvergenz_der_Reihen" title="Trigonometrisches Polynom">konvergiert</a>. Die Frage nach der Existenz von weiteren Funktionenklassen, die diese Eigenschaft besitzen, ist damit aber noch nicht beantwortet. Schon der <a href="Satz_von_Heine" title="Satz von Heine">Satz von Heine</a> ist für Funktionen richtig, die fast überall stetig sind, also solche mit einer endlichen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> von Unstetigkeitsstellen. Die Frage nach der Eindeutigkeit ist äquivalent zu der Frage, ob das Verschwinden der trigonometrischen Reihe

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae5a03b6cb4e63b17ea1b80fe68e013d727d2fd3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:39.11ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}" loading="lazy"></dd></dl>

auf der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\pi ,\pi )\setminus E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\pi ,\pi )\setminus E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e81f7ad12775d1b86471effa914d47a463295d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\pi ,\pi )\setminus E}" loading="lazy"> auch das Verschwinden der Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0,1,\dotsc }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0,1,\dotsc }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dc8041cd7fd15f374cdbcd231c96867fdfbcc8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.755ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0,1,\dotsc }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1,2,\dotsc }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1,2,\dotsc }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f3cbaa470e0099904db2538d3119f81e6e74748.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.522ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1,2,\dotsc }}" loading="lazy"> nach sich zieht. Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> mit dieser Eigenschaft werden Mengen vom Typ U genannt (aus dem französischen unicité – Eindeutigkeit) und alle anderen Mengen – Mengen vom Typ M (multiplicité – Mehrdeutigkeit).<a href="#cite_note-NatX-1">[1]</a> Endliche Mengen sind also Mengen vom Typ U. Indem man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> zweimal integriert, erhält man die Riemann-Funktion:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)={\frac {a_{0}}{4}}x^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}{n^{2}}}+Cx+D.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bacbc89de467df805529f4f55dc41712da0c655.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.717ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)={\frac {a_{0}}{4}}x^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}{n^{2}}}+Cx+D.}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71a82805d469cdfa7856c11d6ee756acd1dc7174.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)}" loading="lazy"> linear ist, dann sind alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0,1,\dotsc }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0,1,\dotsc }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dc8041cd7fd15f374cdbcd231c96867fdfbcc8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.755ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0,1,\dotsc }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1,2,\dotsc }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1,2,\dotsc }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f3cbaa470e0099904db2538d3119f81e6e74748.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.522ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1,2,\dotsc }}" loading="lazy"> gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">. Wenn man also für eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> beweisen würde, dass aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in ((-\pi ,\pi )\setminus P)(f(x)=0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in ((-\pi ,\pi )\setminus P)(f(x)=0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2124d833eb9683359e7b868e2bc10a24c4b10a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.015ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in ((-\pi ,\pi )\setminus P)(f(x)=0)}" loading="lazy"> die <a href="Linearit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Linearität (Mathematik)">Linearität</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71a82805d469cdfa7856c11d6ee756acd1dc7174.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)}" loading="lazy"> folgt, dann wäre damit auch die Zugehörigkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> zum Typ U bewiesen worden. Cantor verwendet diese Idee in seinem Artikel Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen<a href="#cite_note-3">[3]</a> vom Jahre 1871 und zeigt:

<dl><dd>„Ist (p,q) irgendein Intervall, in dem nur eine endliche Anzahl von Punkten der Menge P liegt, so ist F(x) in diesem Intervalle linear …“ (dort Seite 131)</dd></dl>

Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> unendlich ist, dann hat sie mindestens einen <a href="H%C3%A4ufungspunkt" title="Häufungspunkt">Häufungspunkt</a>. Cantor nennt die Menge der Häufungspunkte einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> abgeleitete Menge und bezeichnet sie mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{(1)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(1)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b4fa9f0d7f96845fe125af19bd10f14fa19b854.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.155ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P^{(1)}}" loading="lazy">, die abgeleitete von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{(1)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(1)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b4fa9f0d7f96845fe125af19bd10f14fa19b854.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.155ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P^{(1)}}" loading="lazy"> bezeichnet er mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{(2)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(2)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fab6471703b526c1a0f2bff84224efbe9aa00500.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.155ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P^{(2)}}" loading="lazy"> usw. (siehe Hauptartikel: <a href="Ableitung_einer_Menge" title="Ableitung einer Menge">Ableitung einer Menge</a>). Falls nach endlich vielen Schritten eine endliche Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{(n)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(n)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9af0b3282ccfe3b59d2aaa9182ae3d017fa17026.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P^{(n)}}" loading="lazy"> erreicht wird, dann nennt Cantor die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ter Art. Cantor stellt fest, dass sich die Linearität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71a82805d469cdfa7856c11d6ee756acd1dc7174.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)}" loading="lazy"> in dem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p,q)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p,q)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9769c58523b9b639866a2d48e657d9c26911143a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p,q)}" loading="lazy"> auch dann beweisen lässt, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p,q)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p,q)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9769c58523b9b639866a2d48e657d9c26911143a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p,q)}" loading="lazy"> endlich viele Punkte der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{(k)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5f546c2678be5720db1ebbab139e44e63ce1cc5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P^{(k)}}" loading="lazy"> enthält, wobei die Korrektheit dieser Aussage von der Wahl der natürlichen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> nicht abhängig ist. Mengen mit einer leeren mehrfachen Ableitung sind also immer vom Typ U.

In diesem Artikel gehen die Cantorschen Überlegungen noch nicht über endliche Iterationsprozesse hinaus; allerdings enthält er schon Denkmuster, die später die gesamte Mengenlehre prägen werden. Er ordnet der Veranschaulichung der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> durch geometrische Punkte eine zweitrangige Rolle zu, indem er die reellen Zahlen als <a href="Cauchy-Folge" title="Cauchy-Folge">Cauchy-Folgen</a> aus Elementen der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> der <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen Zahlen</a> definiert. Die Menge dieser Folgen bezeichnet er mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> und definiert dort die für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> üblichen Rechenarten. Cauchy-Folgen aus Elementen der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> bilden eine weitere Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">. Dieser Prozess lässt sich theoretisch ins Unendliche fortsetzen. Cantor versteht von nun an unter Punkt ein Element irgendwelcher Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">, … Der Aufbau solcher geordneter Hierarchien, bei denen der Übergang von einer Stufe zur nächsten durch Grenzübergänge erfolgt, ist später zu einem häufig eingesetzten Mittel zur Einführung neuer mengentheoretischer Begriffe geworden. Wir werden sehen, dass eine solche Hierarchie auch bei den Ordnungszahlen zu erkennen ist.

Nach dieser Arbeit über trigonometrische Reihen hat sich das Interesse Cantors für das Problem einer gleichzeitig notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Eindeutigkeit der Entwicklung von Funktionen in trigonometrischen Reihen abgeschwächt. Die Frage ist später sehr intensiv von <a href="Paul_Du_Bois-Reymond" class="mw-redirect" title="Paul Du Bois-Reymond">Paul Du Bois-Reymond</a>, <a href="Charles-Jean_de_La_Vall%C3%A9e_Poussin" title="Charles-Jean de La Vallée Poussin">Charles-Jean de La Vallée Poussin</a>, <a href="William_Henry_Young" title="William Henry Young">William Henry Young</a>, <a href="Arnaud_Denjoy" title="Arnaud Denjoy">Arnaud Denjoy</a>, <a href="Nina_Bari" class="mw-redirect" title="Nina Bari">Nina Bari</a>, Raichmann und <a href="Dmitri_Jewgenjewitsch_Menschow" title="Dmitri Jewgenjewitsch Menschow">Dmitri Jewgenjewitsch Menschow</a> untersucht worden, allerdings ohne dabei zu einem zufriedenstellenden Ergebnis zu kommen.<a href="#cite_note-NatX-1">[1]</a> Cantor selbst hat sich der Aufgabe gewidmet, die Punktmengen danach zu klassifizieren, wann der Prozess des Ableitens endet. Mengen, bei denen das nach endlich vielen Schritten passiert, nennt Cantor Mengen der ersten Gattung. Eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> ist genau dann eine Menge der ersten Gattung, wenn der <a href="Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Durchschnitt</a>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6289d301887568c6275a7e2185921c326db69e0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:7.975ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n)}}" loading="lazy"></dd></dl>

leer ist. Ein natürlicher Gedanke dabei ist, genau diese Menge zu der ersten Ableitung transfiniter Ordnung für Mengen zweiter Gattung zu machen. Cantor bezeichnet sie mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{(\infty )}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(\infty )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1acd0b6d56cb1643b74f416cf370507203be72bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P^{(\infty )}}" loading="lazy">. Darauf folgen die Ableitungen

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(\infty +1)},\ P^{(\infty +2)},\dotsc ,P^{(2\infty )}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty +n)},\ P^{(3\infty )}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(2\infty +n)},\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/692f95f2ec76c84a59ca433d45b0329a39f00f6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:66.728ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle P^{(\infty +1)},\ P^{(\infty +2)},\dotsc ,P^{(2\infty )}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty +n)},\ P^{(3\infty )}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(2\infty +n)},\dotsc }" loading="lazy"></dd></dl>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(\infty ^{2})}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty )},\ P^{(\infty ^{3})}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty ^{2})},\dotsc ,\ P^{(\infty ^{\infty })}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty ^{n})},\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65065399f9b9dba767fae0572f4bfbb4867369c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:68.182ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle P^{(\infty ^{2})}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty )},\ P^{(\infty ^{3})}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty ^{2})},\dotsc ,\ P^{(\infty ^{\infty })}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty ^{n})},\dotsc }" loading="lazy"></dd></dl>

Cantor schreibt in seinem Artikel Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten von 1880:<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<dl><dd>„Durch consequentes Fortschreiten gewinnt man successive die weiteren Begriffe:</dd></dl>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ P^{(n\infty ^{\infty })},\ P^{(\infty ^{\infty +1})},\ P^{(\infty ^{\infty +n})},\ P^{(n\infty ^{n\infty })},\ P^{(\infty ^{(\infty ^{\infty })})}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12458f992430240b28cd82a8b46072f7981435a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:48.235ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \ P^{(n\infty ^{\infty })},\ P^{(\infty ^{\infty +1})},\ P^{(\infty ^{\infty +n})},\ P^{(n\infty ^{n\infty })},\ P^{(\infty ^{(\infty ^{\infty })})}}" loading="lazy"></dd></dl>

<dl><dd>usw.; wir sehen hier eine dialektische Begriffserzeugung, welche immer weiter führt und dabei frei von jeglicher Willkür in sich nothwendig und consequent bleibt.“</dd></dl>

In diesem nicht einmal fünf Seiten langen Artikel ist der ganze Weg vorgezeichnet, wie man aus den natürlichen Zahlen ein vollständiges transfinites System von Ordnungszahlen entwickeln kann. 1883 definierte Cantor diese Zahlenreihe mit zwei Erzeugungsprinzipien, der „Hinzufügung einer Einheit zu einer vorhandenen schon gebildeten Zahl“ und der Bildung einer nächstgrößeren Zahl als Grenze, welcher die vorher definierten Zahlen zustreben, und zwar in der Aufsatzreihe Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten.<a href="#cite_note-5">[5]</a> Von Ordinalzahlen sprach er dann ab 1895 und definierte sie in seinen beiden Artikeln Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre von 1895/97 als Ordnungstypen wohlgeordneter Mengen.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Die_natürlichen_Zahlen_als_geordnete_Mengen">Die natürlichen Zahlen als geordnete Mengen</h2></div>

Die Ordinalzahlen sind in der modernen Mathematik ein Begriff der Mengenlehre. Um sie als Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu definieren, ist es naheliegend, die natürlichen Zahlen in eine mengentheoretische Hierarchie einzubetten.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Dabei erklärt man die leere Menge für die Null der natürlichen Zahlenfolge. Die leere Menge ist also die im <a href="Peano-Axiome" title="Peano-Axiome">Peano-Axiomensystem</a> der natürlichen Zahlen speziell ausgezeichnete und nicht explizit definierte Zahl ohne Vorgänger. Nach einem Vorschlag von <a href="John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a> definiert man dann jede weitere Zahl als die Menge der Zahlen, die schon definiert sind:<a href="#cite_note-Mesch-8">[8]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0:=\emptyset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01799e24f3ae5a95893452679e8eaa00c5808ab9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.07ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0:=\emptyset }" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1:=\{0\}=\{\emptyset \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25e6813e7ce119df613c5fc43cdfc24cb5eb734c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.981ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1:=\{0\}=\{\emptyset \}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a825c4b0f8fcf49ae2828c74bdd13b315f33329.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.699ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3:=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85bb296fd3a861892f0b476f2227e7254936f801.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3:=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4:=\{0,1,2,3\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e97f3c4d513f90dd31d0165fca3cf67d6c43829b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.219ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4:=\{0,1,2,3\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1:=n\cup \{n\}=\{0,1,\dotsc ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51026c0a8b9d7ffe0ba7d0b0cd246cde6d3b8781.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.195ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n+1:=n\cup \{n\}=\{0,1,\dotsc ,n\}}" loading="lazy"></dd>

Die Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}" loading="lazy"> usw. sind durch die <a href="Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Elementrelation</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b70719c53ef3323db9f5d824efe35277039bf78e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.633ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\in n+1}" loading="lazy">) <a href="Wohlordnung" title="Wohlordnung">wohlgeordnet</a>. Zum Beispiel hat die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4}" loading="lazy"> die Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}" loading="lazy">, die durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<1<2<3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<1<2<3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53644a204ca33d7e337b8fe979406ad47a9ed97e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.945ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<1<2<3}" loading="lazy"> geordnet werden. Man schreibt deshalb auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4:=\{0<1<2<3\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4:=\{0<1<2<3\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbda9d11fe05e0564ed5a24733650b6fd40c8e90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4:=\{0<1<2<3\}}" loading="lazy">. Eine natürliche Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist also kleiner als eine Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> ist. Für die gesamte Menge der natürlichen Zahlen setzt man: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega :=\{0<1<2<3<\dotsb \}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega :=\{0<1<2<3<\dotsb \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/745fbac35692444b6d9b4aa4ccc91e61054e8517.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.283ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega :=\{0<1<2<3<\dotsb \}}" loading="lazy">. Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> stellt ein <a href="Modelltheorie" title="Modelltheorie">Modell</a> des Peano-Axiomensystems dar. Ihre Existenz wird in der <a href="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre" title="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre">Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre</a> durch das <a href="Unendlichkeitsaxiom" title="Unendlichkeitsaxiom">Unendlichkeitsaxiom</a> gesichert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Motivation_und_Definition">Motivation und Definition</h2></div>

Die Theorie der Ordinalzahlen ist eine <a href="Abstraktion" title="Abstraktion">Abstraktionstheorie</a>, bei der von der wahren Natur der Mengenelemente abgesehen wird und nur solche Eigenschaften untersucht werden, die aus ihrer Anordnung abgeleitet werden können. Man definiert dazu: Eine <a href="Bijektion" class="mw-redirect" title="Bijektion">Bijektion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\rightarrow B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\rightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/867edf1a68f4da4b8c01de80e666173d070f5a95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\rightarrow B}" loading="lazy"> von der <a href="Ordnungsrelation#Totalordnung" title="Ordnungsrelation">total geordneten</a> Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A,\leq _{A})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A,\leq _{A})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/708c1a66f7edc8e39c773db03649625fbcce913b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.859ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A,\leq _{A})}" loading="lazy"> auf die total geordnete Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (B,\leq _{B})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (B,\leq _{B})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/741dbdff6661914712d6680a1d8e8b78f7f4bd95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (B,\leq _{B})}" loading="lazy"> heißt <a href="Ordnungsisomorphismus" title="Ordnungsisomorphismus">Ordnungsisomorphismus</a> (oder ähnliche Abbildung), wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\leq _{A}b}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\leq _{A}b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/690d6826ae0ab3ec756f2a067b3aa26cad72a3b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.791ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\leq _{A}b}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)\leq _{B}f(b)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)\leq _{B}f(b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13c3371fb7ef3e3f3b7321bc79106536b60143e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.981ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)\leq _{B}f(b)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/923af80638e57592b33fa715fb6c23651729fb73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in A}" loading="lazy"> äquivalent sind. Man sagt: die Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> sind ordnungsisomorph (oder ähnlich) und schreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cong B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cong B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c976b6c9d02b3db3b471a53519f4ee626eddb5cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.606ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\cong B}" loading="lazy">, wenn es zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> einen Ordnungsisomorphismus gibt. Eine Gesamtheit aller zueinander ordnungsisomorphen Mengen stellt eine <a href="%C3%84quivalenzklasse" class="mw-redirect" title="Äquivalenzklasse">Äquivalenzklasse</a> dar, die Ordnungstypus genannt wird.

Man kann zeigen, dass jede endliche wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu genau einer natürlichen Zahl ist. Außerdem sind für eine wohlgeordnete Menge die folgenden drei Aussagen äquivalent:

<ul><li>Sie ist endlich.</li>

<li>Die umgekehrte Ordnung ist eine Wohlordnung.</li>

<li>Jede nichtleere Teilmenge hat ein größtes Element.</li></ul>

Dies liefert die Grundlage für die Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu Ordinalzahlen, die als spezielle wohlgeordnete Mengen so gewählt werden, dass jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl ist. Somit ist jede Ordinalzahl also spezieller Repräsentant eines bestimmten Ordnungstypus. Die folgende Definition verbessert Cantors Ansatz und wurde zuerst von <a href="John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a> angegeben:<a href="#cite_note-Mesch-8">[8]</a>

Definition I. (setzt das <a href="Fundierungsaxiom" title="Fundierungsaxiom">Fundierungsaxiom</a> voraus): Eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> heißt Ordinalzahl, wenn jedes <a href="Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Element</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> auch <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> bezüglich der Mengeninklusion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subseteq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subseteq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a924f8dcb2847bb8871edfdbf4c6b5cca0669228.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \subseteq }" loading="lazy"> total geordnet ist.

Eine solche Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist automatisch wohlgeordnet aufgrund des Fundierungsaxioms, welches besagt: Jede nichtleere Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> hat ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, das <a href="Disjunkt" title="Disjunkt">disjunkt</a> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist. Die natürlichen Zahlen sind nach dieser Definition Ordinalzahlen. Zum Beispiel ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2=\{0,1\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2=\{0,1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfe9491853a6dbf61328b21d83141dc74c48e72b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.945ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2=\{0,1\}}" loading="lazy"> ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4=\{0,1,2,3\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4=\{0,1,2,3\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/273b95951f9a881803a7088293996aab5aae6cbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.337ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4=\{0,1,2,3\}}" loading="lazy"> und gleichzeitig eine Teilmenge. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> ist ebenfalls eine Ordinalzahl, die kleinste transfinite Ordinalzahl (größer als jede natürliche Zahl). Die von-Neumannsche Definition hat gegenüber der ersten Definition den Vorteil, dass sie aus der Sicht der Grundlagenforschung ein innerhalb der <a href="Axiomatische_Mengenlehre" title="Axiomatische Mengenlehre">axiomatischen Mengenlehre</a> einwandfrei definiertes mengentheoretisches Objekt bestimmt. Jede wohlgeordnete Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl, die man meistens mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {ord}}(X)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {ord}}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0eefb7a5fab00ce945c2bdde122f06c92cf94cc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.156ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {ord}}(X)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {X}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08fd87d3502c4f9e1b02ac74644474258aeea176.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}}" loading="lazy"> bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bemerkungen_und_andere_Definitionen">Bemerkungen und andere Definitionen</h3></div>

Das Verwenden von Äquivalenzklassen aller Mengen bezüglich des Ordnungsisomorphismus gilt aus der Sicht der modernen Mathematik deshalb als problematisch, weil diese unfassbar große Objekte darstellen, die im Gegensatz zu den von-Neumannschen Ordinalzahlen genetisch und nicht <a href="Substantielle_Definition" title="Substantielle Definition">substantiell</a> definiert sind. Ihre Existenz wird in der naiven Mengenlehre ohne explizite Begründung angenommen und kann innerhalb von <a href="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre" title="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre">ZFC</a> ohne Verwendung von Ordinalzahlen nicht begründet werden.<a href="#cite_note-9">[9]</a>

In jeder Mengenlehre bezeichnet man als Ordinalzahlen solche Objekte, die das Ordinalzahlaxiom erfüllen:<a href="#cite_note-10">[10]</a> Jeder wohlgeordneten Menge (oder gegebenenfalls anderer wohlgeordneten Struktur) kann eine Ordinalzahl so zugewiesen werden, dass beliebige an zwei verschiedenen Mengen zugewiesene Ordinalzahlen genau dann gleich sind, wenn die beiden Mengen ordnungsisomorph zueinander sind. In allen axiomatischen Mengenlehren versucht man, um die Einführung neuer Grundobjekte zu vermeiden, geeignete von der Theorie vorgegebene Objekte zu finden, die das Ordinalzahlaxiom erfüllen. Eine Möglichkeit dafür besteht darin, spezielle Mengenhierarchien wie die der <a href="Von-Neumann-Hierarchie" title="Von-Neumann-Hierarchie">Von-Neumann-Hierarchie</a> aufzubauen.

Mit welchen Schwierigkeiten der Verzicht auf solche Hierarchien verbunden sein kann, lässt sich am Beispiel der allgemeinen <a href="Lineare_Ordnung" class="mw-redirect" title="Lineare Ordnung">linearen Ordnungen</a> verdeutlichen, für die man keine geeignete Mengenhierarchie kennt (2004). Das Postulieren der Existenz von Ordnungstypen kann in diesem Fall nur durch Rückgriff auf Rang- oder Stufenfunktionen vermieden werden.<a href="#cite_note-11">[11]</a> Nachdem spezielle Objekte, die zur Einführung von Ordinalzahlen geeignet wären, schon benannt worden sind, wird das Ordinalzahlaxiom (falls überhaupt möglich) eliminiert (auf ein <a href="Theorem" title="Theorem">Theorem</a> zurückgestuft). Innerhalb von ZFC braucht man dafür das von <a href="Adolf_Abraham_Halevi_Fraenkel" title="Adolf Abraham Halevi Fraenkel">Fraenkel</a> 1922 dem Zermeloschen Axiomensystem eigens hinzugefügte Ersetzungsaxiom.<a href="#cite_note-12">[12]</a>

Wie groß die mengentheoretische Stärke des Ordinalzahlaxioms ist, deutet die Tatsache an, dass für den Beweis der Existenz „vieler“ Von-Neumann-Ordinalzahlen das Unendlichkeits-, das Ersetzungs- und für manche sogar das Auswahlaxiom herangezogen werden müssen.<a href="#cite_note-13">[13]</a> Die von Neumannsche Definition der Ordinalzahlen ist die heutzutage am meisten verwendete. Aber auch in den axiomatischen Mengenlehren sind Definitionen von Ordinalzahlen zu finden, die auf der Bildung von Äquivalenzklassen beruhen. Diese Äquivalenzklassen werden aber, um Widersprüche zu vermeiden, nur mit gewissen Einschränkungen gebildet. So wird z. B. die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> nach <a href="Friedrich_Moritz_Hartogs" title="Friedrich Moritz Hartogs">Hartogs</a> so aufgebaut: Sie ist definiert als Menge von Äquivalenzklassen in der Teilmenge der wohlgeordneten Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{(M,O)\mid M\subseteq N,\;O\subseteq M\times M\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(M,O)\mid M\subseteq N,\;O\subseteq M\times M\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f21d41b51e70452ae341f4ad1d10cbfd2c960fd0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.201ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{(M,O)\mid M\subseteq N,\;O\subseteq M\times M\}}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=\omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=\omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a4ee4eebcebae2a7591b35e6f8580135b838ab1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.608ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=\omega }" loading="lazy"> ist. Dabei sind zwei Teilmengen äquivalent, wenn sie sich ordnungsisomorph aufeinander abbilden lassen.<a href="#cite_note-14">[14]</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\omega _{1},<)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\omega _{1},<)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4467286c6448273554bcc7224d699f88fa721e11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.151ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\omega _{1},<)}" loading="lazy"> ist mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\eta ,<_{\eta })<(\beta ,<_{\beta })\iff \exists \xi \in \beta \;((\{x\mid x<_{\beta }\xi \},<_{\beta })\cong (\eta ,<_{\eta }))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\eta ,<_{\eta })<(\beta ,<_{\beta })\iff \exists \xi \in \beta \;((\{x\mid x<_{\beta }\xi \},<_{\beta })\cong (\eta ,<_{\eta }))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef9c60c64c72c9c8ba019be2a15a5e8d5ecfc214.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:61.011ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\eta ,<_{\eta })<(\beta ,<_{\beta })\iff \exists \xi \in \beta \;((\{x\mid x<_{\beta }\xi \},<_{\beta })\cong (\eta ,<_{\eta }))}" loading="lazy"> wohlgeordnete Menge.<a href="#cite_note-15">[15]</a> Diese Hierarchie lässt sich fortsetzen, indem man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=\omega _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=\omega _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29e9a057a4fb3cdcffc11fed9f4da6d32815d467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.826ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N=\omega _{n}}" loading="lazy"> setzt und die Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{n+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{n+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff5de4b5d35d0a8190cfbc610b6adec7b8fb3cf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.765ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{n+1}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1,2,\dotsc }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1,2,\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cb39e56439dd52754c49f60dc719eeed9aa1f81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.609ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=1,2,\dotsc }" loading="lazy"> bildet. Die Definition von Hartogs verwendet keine Repräsentantenauswahl und ist ausreichend für viele Anwendungen der Ordinalzahlen in der Analysis und in der Topologie. Äquivalenzklassen von ordnungsisomorphen Mengen werden auch in den Mengenlehren mit stufentheoretischem Aufbau gebildet (<a href="Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Bertrand Russell</a>,<a href="#cite_note-16">[16]</a> <a href="Willard_Van_Orman_Quine" title="Willard Van Orman Quine">Willard Van Orman Quine</a>,<a href="#cite_note-17">[17]</a> <a href="Dana_Scott" title="Dana Scott">Dana Scott</a>,<a href="#cite_note-18">[18]</a> <a href="Dieter_Klaua" title="Dieter Klaua">Dieter Klaua</a> u. a.). In der AM von <a href="Dieter_Klaua" title="Dieter Klaua">Klaua</a> z. B. sind alle Mengen Elemente von <a href="Allmenge" class="mw-redirect" title="Allmenge">Allmengen</a>.<a href="#cite_note-19">[19]</a> Die Ordinalzahl der wohlgeordneten Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist dann die Äquivalenzklasse aller zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ordnungsisomorphen Elemente der kleinsten Allmenge, die zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ordnungsisomorphe Mengen enthält.<a href="#cite_note-20">[20]</a> In der Scott-Potter-Mengenlehre, die ein Beispiel für eine Mengenlehre ohne <a href="Ersetzungsaxiom" title="Ersetzungsaxiom">Ersetzungsaxiom</a> ist, werden die Von-Neumann-Ordinalzahlen Pseudoordinalzahlen genannt.<a href="#cite_note-21">[21]</a><a href="#cite_note-22">[22]</a> Die Ordinalzahlen in dieser Mengenlehre werden für jede wohlgeordnete Kollektion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {ord}}(a)=\langle x\mid x\cong a\rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {ord}}(a)=\langle x\mid x\cong a\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37f1f551a5da095c69f4ea43010b4f8bde0edaee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.238ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {ord}}(a)=\langle x\mid x\cong a\rangle }" loading="lazy"> definiert<a href="#cite_note-23">[23]</a> und die Ordinalzahlen der wohlgeordneten Mengen als kleine Ordinalzahlen bezeichnet. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {On}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {On}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/570c6701a8c9ab2fa42f8b4bb282edd622617769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {On}}}" loading="lazy"> ist die Kollektion der kleinen Ordinalzahlen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {Ord}}({\textrm {On}})}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {Ord}}({\textrm {On}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f39a6d7c77767a46e2aa1f4da9eafb0e936cc64e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.922ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {Ord}}({\textrm {On}})}" loading="lazy"> – die kleinste große Ordinalzahl. Eine Kollektion aller Ordinalzahlen gibt es in der Scott-Potter-Mengenlehre nicht.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Wohlordnungseigenschaft der Ordinalzahlen in ZF aus dem Fundierungsaxiom abgeleitet werden kann. Es ist allerdings in der mengentheoretischen Literatur üblich, Definitionen möglichst unabhängig von den Axiomen zu formulieren.

Im Folgenden werden sieben Alternativdefinitionen der Ordinalzahlen angegeben, die alle in ZF ohne das Fundierungsaxiom zueinander und in ZF mit dem Fundierungsaxiom auch zur oben formulierten Definition äquivalent sind.<a href="#cite_note-24">[24]</a> Vorher zwei Begriffe: Eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> heißt <a href="Transitive_Menge" title="Transitive Menge">transitiv</a>, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall y\in X\forall z\in y\;(z\in X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\in X\forall z\in y\;(z\in X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8907c1db3d30631b7b13b65ea251b10466f67ab9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.009ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall y\in X\forall z\in y\;(z\in X)}" loading="lazy">. In Worten: In einer transitiven Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> sind mit jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> der Menge auch alle Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> als Elemente enthalten. Aus dieser Definition folgt: Eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist genau dann transitiv, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall y\in X\;(y\subseteq X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\in X\;(y\subseteq X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c68e9ee093bc2b804ad31a659482fdb76d007f96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.957ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall y\in X\;(y\subseteq X)}" loading="lazy">. Eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> heißt fundiert, wenn es ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6015f751d0278b3aa3b5e4c33740456f08e888b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.976ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in X}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> disjunkt sind.

Definition II von <a href="Ernst_Zermelo" title="Ernst Zermelo">Ernst Zermelo</a> (1915, publiziert 1941)<a href="#cite_note-25">[25]</a>

<dl><dd>Eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> heißt Ordinalzahl, wenn für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6015f751d0278b3aa3b5e4c33740456f08e888b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.976ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in X}" loading="lazy"> die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\cup \{y\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\cup \{y\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35d839ac01e4e209ea93c3a7cd7480f6532dadf2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.218ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y\cup \{y\}}" loading="lazy"> ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> oder identisch mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist und für jede Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> die Vereinigung der Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> oder identisch mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist.</dd></dl>

Definition III von <a href="Ernst_Zermelo" title="Ernst Zermelo">Ernst Zermelo</a> (1915, publiziert 1930), erste publizierte Ordinalzahldefinition von <a href="John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a> (1923)<a href="#cite_note-26">[26]</a><a href="#cite_note-27">[27]</a>

<dl><dd>Eine wohlgeordnete Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> identisch ist mit der Menge aller ihr vorausgehenden Elemente, d. h. wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall y\in X\;(y=\{z\mid z\in X,\;z<y\})}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\in X\;(y=\{z\mid z\in X,\;z<y\})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/040a4a90c80c2ea49b2e4255993fda6391a77be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.257ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall y\in X\;(y=\{z\mid z\in X,\;z<y\})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Definition IV von <a href="Kurt_G%C3%B6del" title="Kurt Gödel">Kurt Gödel</a> (1937, publiziert 1941)<a href="#cite_note-28">[28]</a>

<dl><dd>Eine transitive Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, deren Elemente transitiv sind, heißt Ordinalzahl, wenn jede nicht-leere Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> fundiert ist.</dd></dl>

Definition V von <a href="Raphael_M._Robinson" class="mw-redirect" title="Raphael M. Robinson">Raphael M. Robinson</a> (1937)<a href="#cite_note-29">[29]</a>

<dl><dd>Eine transitive Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, deren nicht-leere Teilmengen fundiert sind, heißt Ordinalzahl, wenn für jede zwei verschiedene Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> entweder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3af2478b948ca8279c41fcde98355887e039c87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.084ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle y\in z}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e6c1daf2edbddd3accbda2eb55e90517fa623be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.084ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\in y}" loading="lazy"> gilt. (Die letzte Eigenschaft nennt man auch Konnexität).</dd></dl>

Definition VI von <a href="Paul_Bernays" title="Paul Bernays">Paul Bernays</a> (1941)<a href="#cite_note-30">[30]</a>

<dl><dd>Eine transitive Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> heißt Ordinalzahl, wenn alle transitiven echten Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> sind.</dd></dl>

Definition VII

<dl><dd>Eine <a href="Reflexive_Relation" title="Reflexive Relation">irreflexiv</a> geordnete Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,{\in })}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,{\in })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/673a4adbd6520ffcfaf42274c14efd7dda660dec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.374ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,{\in })}" loading="lazy"> heißt Ordinalzahl, wenn sie transitiv und wohlgeordnet ist.</dd></dl>

Definition VIII

<dl><dd>Ordinalzahlen heißen die <a href="Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Bilder</a> der Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(a)=\{E(x)\mid x<a,\;x\in A\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(a)=\{E(x)\mid x<a,\;x\in A\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef91069563dfc09ead19a73efa4e8cffb4caf901.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.34ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(a)=\{E(x)\mid x<a,\;x\in A\}}" loading="lazy"> für wohlgeordnete Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die letzte Definition zeigt auch gleich, wie man die Ordinalzahl einer wohlgeordneten Menge bestimmen kann. Dass die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/507447198d4c99a33c035c500b37964a1a8d3551.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.815ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(a)}" loading="lazy"> <a href="Wohldefiniertheit" title="Wohldefiniertheit">wohldefiniert</a> sind, folgt aus dem Satz über die <a href="Transfinite_Induktion#Transfinite_Rekursion" title="Transfinite Induktion">transfinite Rekursion</a>, und dass ihre Bilder – genannt Epsilonbilder – Mengen sind, aus dem Ersetzungsaxiom.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Limes-_und_Nachfolgerzahlen">Limes- und Nachfolgerzahlen</h3></div>

Die Elemente einer Von-Neumann-Ordinalzahl sind selbst Ordinalzahlen.<a href="#cite_note-A.Levy-31">[31]</a> Hat man zwei Ordinalzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy">, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> genau dann, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> eine echte Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> ist, und es gilt, dass entweder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy">, oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">, oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma =\tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma =\tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f045a867bdc1988c4618bcf44cc68c6888a8903.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.63ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma =\tau }" loading="lazy"> ist.<a href="#cite_note-A.Levy-31">[31]</a> Damit ist durch die Elementbeziehung zwischen den Elementen einer Ordinalzahl eine <a href="Reflexive_Relation" title="Reflexive Relation">irreflexive</a> <a href="Ordnungsrelation" title="Ordnungsrelation">Totalordnungsrelation</a> definiert. Es gilt sogar noch mehr: jede Menge von Ordinalzahlen ist wohlgeordnet.<a href="#cite_note-32">[32]</a> Dies verallgemeinert das <a href="Wohlordnungsprinzip" class="mw-redirect" title="Wohlordnungsprinzip">Wohlordnungsprinzip</a>, dass jede Menge von natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist, und erlaubt die freie Anwendung der <a href="Transfinite_Induktion" title="Transfinite Induktion">transfiniten Induktion</a> und der Beweismethode des <a href="Wohlordnungsprinzip" class="mw-redirect" title="Wohlordnungsprinzip">unendlichen Abstiegs</a> auf Ordinalzahlen.

Jede Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> hat genau die Ordinalzahlen als Elemente, die kleiner sind als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">. Die mengentheoretische Struktur einer Ordinalzahl ist also vollständig durch kleinere Ordinalzahlen beschrieben. Jeder Durchschnitt oder Vereinigung von Ordinalzahlen ist eine Menge von Ordinalzahlen.

Weil jede Menge von Ordinalzahlen wohlgeordnet ist, ist jede transitive Menge von Ordinalzahlen selbst eine Ordinalzahl (s. Definition VII).<a href="#cite_note-A.Levy-31">[31]</a> Daraus folgt, dass auch jeder Durchschnitt oder Vereinigung von Ordinalzahlen eine Ordinalzahl ist.<a href="#cite_note-33">[33]</a> Die Vereinigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \bigcup S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \bigcup S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786751cc5406aaa9f4580d4fb7564e19914cc7ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.822ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \bigcup S}" loading="lazy"> aller Elemente einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> von Ordinalzahlen wird Supremum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> genannt und mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sup} S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sup} S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34f13990ad28430ecabc42d1be2cd2b8266ee4b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.388ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sup} S}" loading="lazy"> bezeichnet. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta \leq \operatorname {sup} S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta \leq \operatorname {sup} S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b4582711e674b36defeba535564805987ee0d35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.818ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta \leq \operatorname {sup} S}" loading="lazy"> für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta \in S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta \in S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f2f5351d37ea1b38d80b9a515379d879d831b15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.672ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta \in S}" loading="lazy"> gilt und dass es zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta <\operatorname {sup} S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta <\operatorname {sup} S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d86c9b3d189eb74a26a5fb8736f8c69e75ea11a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.818ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta <\operatorname {sup} S}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \in S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \in S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0209956c7b8609742569e993ddbc9b5bb4a5dc9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi \in S}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta <\xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta <\xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03e420dbfe49b4292428fd04b123d554f9c98838.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.461ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta <\xi }" loading="lazy"> gibt. Im Sinne dieser Definition ist das Supremum der leeren Menge die leere Menge, also die Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">.

Wohlgeordnete Mengen sind zu keiner ihrer <a href="Anfangsstrecke" title="Anfangsstrecke">Anfangsstrecken</a> ordnungsisomorph.<a href="#cite_note-A.Levy-31">[31]</a> Deshalb existiert zwischen zwei Ordinalzahlen nur dann eine ähnliche Abbildung, wenn sie gleich sind. Die Klasse aller Ordinalzahlen ist keine Menge (s. auch: das <a href="Burali-Forti-Paradoxon" title="Burali-Forti-Paradoxon">Burali-Forti-Paradoxon</a>). Wäre sie nämlich eine Menge, dann wäre sie eine wohlgeordnete und transitive Menge – also eine Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy">, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta \in \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta \in \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/377b34dea706a0696c4d1c070b4a49043c9ee9a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.022ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta \in \theta }" loading="lazy"> gilt. Ordinalzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy">, die sich selbst als Element enthalten, existieren allerdings nicht,<a href="#cite_note-34">[34]</a> weil sie ordnungsisomorph zu einer ihrer Anfangsstrecken sein müssten (nämlich zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\beta \mid \beta <\theta \}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\beta \mid \beta <\theta \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7730053d5a8e791ff3f0a97b9b3f47f92fa4b357.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.115ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\beta \mid \beta <\theta \}}" loading="lazy">). Aus dem Satz, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {On}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {On}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/570c6701a8c9ab2fa42f8b4bb282edd622617769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {On}}}" loading="lazy"> eine echte Klasse ist, folgt, dass für jede Menge von Ordinalzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> Ordinalzahlen existieren, die größer sind als jedes Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-35">[35]</a> Unter den Ordinalzahlen, die größer als jedes Element einer Menge aus Ordinalzahlen sind, gibt es immer eine kleinste.<a href="#cite_note-36">[36]</a> Man nennt sie obere Grenze<a href="#cite_note-Bachmann-Grenze-37">[37]</a><a href="#cite_note-38">[38]</a> der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> und bezeichnet sie mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sup} ^{+}S}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sup} ^{+}S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21b9cdc1df36b90e6ddd80930f915ff521d5dc5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.898ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sup} ^{+}S}" loading="lazy">.

Die kleinste Ordinalzahl größer als die Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> heißt <a href="Nachfolger_(Mathematik)" title="Nachfolger (Mathematik)">Nachfolger</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> und wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s(\xi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s(\xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab0a048af88ab8c0cf70d31e71136d60e55ea708.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s(\xi )}" loading="lazy">, oft auch mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi +1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi +1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3158a7e3d8fe2ef8d232a71246e4cbacc8b9f88f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.033ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi +1}" loading="lazy"> bezeichnet. Die Bezeichnung ergibt auch außerhalb der <a class="mw-selflink-fragment" href="#Rechenoperationen">transfiniten Arithmetik</a> einen Sinn (ohne zu dieser in Widerspruch zu stehen). Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> ein größtes Element hat, dann wird dieses Vorgänger von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> genannt und mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ac16094bf92cb33d7c216ce59e7014411aa19d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.033ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi -1}" loading="lazy"> bezeichnet. Nicht jede Ordinalzahl hat einen Vorgänger, z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy">. Man nennt eine Ordinalzahl, die einen Vorgänger hat, Nachfolgerzahl oder Zahl erster Art. Eine Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> ist genau dann von erster Art, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi =s(\operatorname {sup} \xi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi =s(\operatorname {sup} \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d82125a9825082e531db94894319ed42dcf5aee3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.947ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi =s(\operatorname {sup} \xi )}" loading="lazy">. Das ist gleichbedeutend mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi >\operatorname {sup} \xi =\textstyle \bigcup \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi >\operatorname {sup} \xi =\textstyle \bigcup \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2329917bf5cf9cb23768dc4935c77bbe09257a62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.499ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi >\operatorname {sup} \xi =\textstyle \bigcup \xi }" loading="lazy">, woraus wiederum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi =s(\operatorname {sup} \xi )=s(\textstyle \bigcup \xi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi =s(\operatorname {sup} \xi )=s(\textstyle \bigcup \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d164d1429ea6a442378daffdf3c75adbbf61ca0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.298ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi =s(\operatorname {sup} \xi )=s(\textstyle \bigcup \xi )}" loading="lazy"> folgt. Die Ordinalzahlen erster Art und die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> nennt man isoliert. Eine positive Ordinalzahl ohne Vorgänger wird Limeszahl oder Grenzzahl genannt. Eine positive Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> ist genau dann Limeszahl, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi =\operatorname {sup} \xi =\textstyle \bigcup \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi =\operatorname {sup} \xi =\textstyle \bigcup \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9028d9ea2d12d24460066845927c1bdddd83166c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.499ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi =\operatorname {sup} \xi =\textstyle \bigcup \xi }" loading="lazy">. Als Ordinalzahlen zweiter Art bezeichnet man die Limeszahlen sowie die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">. Jede Ordinalzahl ist somit eine Zahl entweder der ersten oder zweiten Art und entweder Limeszahl oder isoliert, wobei für positive Zahlen die Begriffe Limeszahl und Zahl zweiter Art sowie isolierte Zahl und Zahl erster Art übereinstimmen. Die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> ist die einzige isolierte Zahl zweiter Art.<a href="#cite_note-Bachmann-Grenze-37">[37]</a>

Der Vorgänger von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s(\xi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s(\xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab0a048af88ab8c0cf70d31e71136d60e55ea708.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s(\xi )}" loading="lazy"> ist für jede Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> die Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> selbst. Die Limeszahlen bilden eine echte Klasse, die mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {Lim}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {Lim}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4210d0d82ab543af89be57adc0cd007d1ba18361.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.035ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {Lim}}}" loading="lazy"> bezeichnet wird. Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> eine Ordinalzahl erster Art ist, dann existiert eine endliche aber keine unendliche Folge: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ac16094bf92cb33d7c216ce59e7014411aa19d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.033ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi -1}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\xi -1)-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\xi -1)-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/435b98006d33783c81c1eee745cd0be3e2197a1c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.845ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\xi -1)-1}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ((\xi -1)-1)-1,\dotsc }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ((\xi -1)-1)-1,\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9a0dd7dd1423ff3b32d429366f90bb7e01d1d2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ((\xi -1)-1)-1,\dotsc }" loading="lazy"><a href="#cite_note-Fall.F.-39">[39]</a> Angefangen bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> erreicht man nach endlich vielen Abstiegen von einer Ordinalzahl zu ihrem Vorgänger eine Zahl zweiter Art. Es gilt sogar noch mehr: Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> eine transfinite Ordinalzahl ist, dann kann man zwar beliebig lange echt fallende Folgen mit erstem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> bilden, aber keine unendliche solche.<a href="#cite_note-Fall.F.-39">[39]</a>

<msup>

</mstyle>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mstyle>

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<mtext>Sprung</mtext>

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</mover>

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</mstyle>

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</mrow>

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</mstyle>

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</mover>

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</mrow>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!^{\color {Red}0}{{\curvearrowleft } \atop \ }\!^{\color {Blue}1}{{\curvearrowleft } \atop \ }\!^{\color {Blue}2}{{\curvearrowleft } \atop \ }\!\!\!\!\!^{\ldots }{\ }^{{\color {Red}\sigma }\,\in \,\mathrm {Lim} }{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{\color {Blue}\eta -1}{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{{\color {Blue}\eta }\notin \mathrm {Lim} }\!\!\!\!{{\overset {\textrm {Sprung}}{\curvearrowleft }} \atop \ }\!\!\!\!\!\!\!\!\!^{\ldots }{\ }^{{\color {Red}\lambda }\,\in \,\mathrm {Lim} }{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{\color {Blue}((\xi -1)-1)-1}{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{\color {Blue}(\xi -1)-1}{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{\color {Blue}\xi -1}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{{\overset {\mathrm {zum\,Vorg{\ddot {a}}nger} }{\curvearrowleft }} \atop \ }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\ }^{{\color {Blue}\xi }\notin \mathrm {Lim} }\ \ \!^{\ldots }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57af7c3f0ae9e2eb53081277ff0345a6ec289ab3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-left: -0.387ex; width:82.377ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \!^{\color {Red}0}{{\curvearrowleft } \atop \ }\!^{\color {Blue}1}{{\curvearrowleft } \atop \ }\!^{\color {Blue}2}{{\curvearrowleft } \atop \ }\!\!\!\!\!^{\ldots }{\ }^{{\color {Red}\sigma }\,\in \,\mathrm {Lim} }{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{\color {Blue}\eta -1}{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{{\color {Blue}\eta }\notin \mathrm {Lim} }\!\!\!\!{{\overset {\textrm {Sprung}}{\curvearrowleft }} \atop \ }\!\!\!\!\!\!\!\!\!^{\ldots }{\ }^{{\color {Red}\lambda }\,\in \,\mathrm {Lim} }{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{\color {Blue}((\xi -1)-1)-1}{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{\color {Blue}(\xi -1)-1}{\curvearrowleft \atop \ }{\ }^{\color {Blue}\xi -1}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{{\overset {\mathrm {zum\,Vorg{\ddot {a}}nger} }{\curvearrowleft }} \atop \ }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\ }^{{\color {Blue}\xi }\notin \mathrm {Lim} }\ \ \!^{\ldots }}" loading="lazy"></dd></dl>

Unendliche Folgen von Ordinalzahlen enthalten immer unendliche nicht fallende Teilfolgen.<a href="#cite_note-Fall.F.-39">[39]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="On_als_rekursiver_Datentyp">On als rekursiver Datentyp</h3></div>

In der <a href="Metamathematik" title="Metamathematik">Metamathematik</a> und ganz speziell in der <a href="Beweistheorie" title="Beweistheorie">Beweistheorie</a> werden die Ordinalzahlen oft rekursiv oder axiomatisch definiert, so wie die natürlichen Zahlen durch die Peano-Axiome definiert werden können.<a href="#cite_note-40">[40]</a> Der Zweck solcher Definitionen besteht aber im Unterschied zu der Ordinalzahldefinitionen der Mengenlehre nicht darin, eine echte Klasse von Ordinalzahlen zu bestimmen, sondern möglichst lange <a href="Anfangsstrecke" title="Anfangsstrecke">Anfangsstrecken</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {On}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {On}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/570c6701a8c9ab2fa42f8b4bb282edd622617769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {On}}}" loading="lazy"> zu finden, die mit aus der Sicht eines <a href="Hilbertprogramm" title="Hilbertprogramm">metamathematischen Programms</a> zulässigen Mitteln definiert und untersucht werden können. Während innerhalb der Metamathematik von Schreibfiguren die Rede ist, verwendet man in der Mengenlehre und der Rekursionstheorie den von <a href="Stephen_Cole_Kleene" title="Stephen Cole Kleene">Stephen Cole Kleene</a> eingeführten Begriff Ordinalzahlnotation. Für die Metamathematik sind hauptsächlich die aus der Wohlordnung folgenden sowie einige arithmetische Eigenschaften der Ordinalzahlen von Bedeutung. Wenn man die Existenz von Nachfolger- und Limeszahlen als Grundeigenschaften betrachtet, dann lässt sich innerhalb der Theorie der rekursiven <a href="Datentyp" title="Datentyp">Datentypen</a> (induktiv definierten Klassen) folgende Definition für die Klasse der Ordinalzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {On}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {On}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/570c6701a8c9ab2fa42f8b4bb282edd622617769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {On}}}" loading="lazy"> formulieren.<a href="#cite_note-41">[41]</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {succ}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {succ}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6689d093ca102e936ab1fec266651736f83a18f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.274ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {succ}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {sup}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {sup}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75da0029d7e89f7d90e34770d174d9d5fd4bfaf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.501ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {sup}}}" loading="lazy"> seien die Konstruktoren des rekursiven Datentypus Ordinalzahl, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> der Fundierer und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \preccurlyeq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \preccurlyeq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99bc8c68be5ec5d812bb700383d1911b5f94a1ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \preccurlyeq }" loading="lazy"> eine Halbordnungsrelation auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {On}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {On}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/570c6701a8c9ab2fa42f8b4bb282edd622617769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {On}}}" loading="lazy"> mit den Eigenschaften:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \mu \forall \beta \forall \xi (\mu \preccurlyeq \beta \preccurlyeq \xi \Rightarrow \mu \preccurlyeq \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7d0d89d01925a5da7e9e3b981b67c752903d119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.556ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \mu \forall \beta \forall \xi (\mu \preccurlyeq \beta \preccurlyeq \xi \Rightarrow \mu \preccurlyeq \xi )}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \xi (\xi \preccurlyeq \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a05e9536af3e7e46d45585cbef6fb3e5875bc92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.29ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \xi (\xi \preccurlyeq \xi )}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \mu \forall \xi (\mu \preccurlyeq \xi \preccurlyeq \mu \Rightarrow \mu =\xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5ab9d72a0c814f9d213699d923f9cbaa43af86d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.001ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \mu \forall \xi (\mu \preccurlyeq \xi \preccurlyeq \mu \Rightarrow \mu =\xi )}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \xi (0\preccurlyeq \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36546d66f4db7aa3fcb35464f6b9abe276d09ba3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \xi (0\preccurlyeq \xi )}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \xi (\xi \preccurlyeq \operatorname {succ} \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23e99c37fdacba8bed4328d0c16a4d8e0cf94dfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \xi (\xi \preccurlyeq \operatorname {succ} \xi )}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg \exists \xi (\xi =\operatorname {succ} \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72e78dae6bf099844577af4d7a86bdcdbd20a2d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.501ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg \exists \xi (\xi =\operatorname {succ} \xi )}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \mu \forall \xi (\mu \preccurlyeq \xi \Rightarrow \operatorname {succ} \mu \preccurlyeq \operatorname {succ} \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0fb8aded83c40eb1ff8768ab02868e6deec8cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.822ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \mu \forall \xi (\mu \preccurlyeq \xi \Rightarrow \operatorname {succ} \mu \preccurlyeq \operatorname {succ} \xi )}" loading="lazy"></li>

<li>für jede <a href="Ordnungsrelation#Totalordnung" title="Ordnungsrelation">Kette</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \xi (\xi \in K\Rightarrow \xi \preccurlyeq \operatorname {sup} K)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \xi (\xi \in K\Rightarrow \xi \preccurlyeq \operatorname {sup} K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5b014a0015c9f24c27ab718e2b0d2edaf8e028f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.766ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \xi (\xi \in K\Rightarrow \xi \preccurlyeq \operatorname {sup} K)}" loading="lazy"></li>

<li>für jede Kette <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \xi (\forall \beta \in K(\beta \preccurlyeq \xi )\Rightarrow \operatorname {sup} K\preccurlyeq \xi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \xi (\forall \beta \in K(\beta \preccurlyeq \xi )\Rightarrow \operatorname {sup} K\preccurlyeq \xi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33b662d33eccbe8529388075cecf23292eb074a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.63ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \xi (\forall \beta \in K(\beta \preccurlyeq \xi )\Rightarrow \operatorname {sup} K\preccurlyeq \xi )}" loading="lazy"></li></ul>

Man kann mittels <a href="Strukturelle_Induktion" title="Strukturelle Induktion">struktureller Induktion</a> zeigen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\textrm {On}},\preccurlyeq )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\textrm {On}},\preccurlyeq )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/117cc6ce28c42a7f949d289889ab0ffc03f98205.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\textrm {On}},\preccurlyeq )}" loading="lazy"> eine wohlgeordnete Klasse ist.

In der Terminologie der Theorie der rekursiven Datentypen stellen die von Neumannschen Ordinalzahlen eine Implementierung des rekursiven Datentypus Ordinalzahl dar, d. h. ein <a href="Modelltheorie" title="Modelltheorie">Modell</a> der obigen Menge von Axiomen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rechenoperationen">Rechenoperationen</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Transfinite_Arithmetik" title="Transfinite Arithmetik">Transfinite Arithmetik</a></div>

Die arithmetischen Operationen mit Ordinalzahlen werden als Verallgemeinerung der aus der elementaren Arithmetik bekannten Rechenarten eingeführt. Unter der Summe zweier Ordinalzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> versteht man die Ordinalzahl einer wohlgeordneten Menge, die aus den Elementen der beiden Mengen besteht, wenn alle Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> in der Wohlordnung vor den Elementen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> stehen. Dies entspricht genau der Vorstellung, die uns aus den endlichen Zahlen vertraut ist, dass beim Konkatenieren von zwei endlichen Folgen der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> eine endliche Folge der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m+n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m+n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88528fefcfac1b22d2df9b71d0f4fc9e758f65ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.276ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m+n}" loading="lazy"> entsteht. Da man bei den transfiniten Ordinalzahlen zwischen isolierten und Limeszahlen unterscheiden muss, wird bei der Einführung der arithmetischen Operationen darauf geachtet, dass diese stetige Fortsetzungen der finiten arithmetischen Operationen sind. Die Stetigkeit der Rechenoperationen bei den Ordinalzahlen sieht man am deutlichsten in der sogenannten funktionalen Einführung der transfiniten Arithmetik. Die funktionale Einführung der <a href="Ordinalzahlarithmetik" class="mw-redirect" title="Ordinalzahlarithmetik">Ordinalzahlarithmetik</a> wird mittels transfiniter Rekursion begründet. Nicht alle aus der finiten Arithmetik bekannten Eigenschaften der Rechenoperationen sind in das Unendliche übertragbar. So ist die Addition im Allgemeinen nicht kommutativ. Mit Hilfe der Cantorschen Polynomdarstellung, die eine Art transfinites <a href="Stellenwertsystem" title="Stellenwertsystem">Stellenwertsystem</a> ist, lassen sich alternative Rechenoperationen einführen: die so genannten natürlichen Operationen zwischen Ordinalzahlen, so dass keine der aus den finiten Arithmetik bekannten Regeln vermisst werden muss.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Topologische_Eigenschaften">Topologische Eigenschaften</h2></div>

Jede Ordinalzahl lässt sich aufgrund ihrer totalen Ordnung durch die <a href="Ordnungstopologie" title="Ordnungstopologie">Ordnungstopologie</a> zu einem <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischen Raum</a> machen. In dieser Topologie konvergiert die Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1,2,\dots )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1,2,\dots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80a1264b888e036ec57294bfc12e86d224e6190a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.122ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,1,2,\dots )}" loading="lazy"> gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy">, und die Folge

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b15fa81aa9d82b992a7a293f8b40e45b3699ff6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.475ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots )}" loading="lazy"></dd></dl>

konvergiert gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{.^{.^{.}}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msup>

<msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{.^{.^{.}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a419418e9c17b86a29ec442b5bb8f2483c9bfc71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.482ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{.^{.^{.}}}}}" loading="lazy">. Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines <a href="Netz_(Topologie)" title="Netz (Topologie)">Netzes</a> von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden, etwa durch das Netz aller kleineren Ordinalzahlen mit ihrer natürlichen Ordnung. Die Mächtigkeit des kleinsten solchen Netzes heißt <a href="Konfinalit%C3%A4t" title="Konfinalität">Konfinalität</a>. Diese kann überabzählbar sein, d. h., im Allgemeinen sind jene Ordinalzahlen nicht Grenzwert einer <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> kleinerer Ordinalzahlen, wie z. B. die kleinste überabzählbare Ordinalzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-42">[42]</a>

Die topologischen Räume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}+1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa08e90b7d5d3afa37e8c63ae70161b27eec23df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.503ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}+1}" loading="lazy"> werden in Lehrbüchern oft als Beispiel einer nicht abzählbaren Topologie genannt. Zum Beispiel gilt im Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}+1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa08e90b7d5d3afa37e8c63ae70161b27eec23df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.503ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}+1}" loading="lazy">, dass das Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> im Abschluss der Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> liegt, aber keine Folge in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> gegen das Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> konvergiert. Der Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> erfüllt das erste, aber nicht das zweite <a href="Abz%C3%A4hlbarkeitsaxiom" title="Abzählbarkeitsaxiom">Abzählbarkeitsaxiom</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}+1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa08e90b7d5d3afa37e8c63ae70161b27eec23df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.503ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}+1}" loading="lazy"> keines von beiden.

Der Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> besitzt genau eine (Hausdorff-)<a href="Kompaktifizierung" title="Kompaktifizierung">Kompaktifizierung</a>, nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}+1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa08e90b7d5d3afa37e8c63ae70161b27eec23df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.503ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}+1}" loading="lazy">. Dies bedeutet, dass die größtmögliche, die <a href="Stone-%C4%8Cech-Kompaktifizierung" title="Stone-Čech-Kompaktifizierung">Stone-Čech-Kompaktifizierung</a>, hier mit der kleinstmöglichen, der Einpunkt- oder <a href="Alexandroff-Kompaktifizierung" title="Alexandroff-Kompaktifizierung">Alexandroff-Kompaktifizierung</a>, übereinstimmt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Burali-Forti-Paradoxon" title="Burali-Forti-Paradoxon">Burali-Forti-Paradoxon</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

Bei Verwendung der von Neumannschen Definition:

<ul><li>H. Bachmann: Transfinite Zahlen. Springer, 1967.</li>

<li>O. Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5.</li>

<li>P. Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis. W. A. Benjamin Inc., New York 1966, ISBN 978-0-8053-2327-6.</li>

<li>P. Komjath, V. Totik: Problems and Theorems in Classical Set Theory. Springer, 2006, ISBN 978-0-387-30293-5.</li>

<li>K. Hrbacek, <a href="Thomas_Jech" title="Thomas Jech">Thomas Jech</a>: Introduction to Set Theory. Marcel Dekker Inc., New York 1999, ISBN 0-8247-7915-0.</li>

<li>Herbert B. Enderton: Elements of Set Theory. Academic Press Inc., New York NY 1977, ISBN 0-12-238440-7.</li>

<li>J. Barwise (Hrsg.): Handbook of Mathematical Logic. North Holland, 1977, ISBN 978-0-444-86388-1.</li>

<li>A. Levy: Basic Set Theory. Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7.</li>

<li>T. Forster: Logic, Induction and Sets. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-53361-9.</li>

<li>M. Zuckerman: Sets and Transfinite Numbers. Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9.</li>

<li>M. Deutsch: Einführung in die Grundlagen der Mathematik. Universitätsdruckerei Bremen, 1999, ISBN 3-88722-438-8.</li></ul>

Bei Verwendung von Ordnungstypen:

<ul><li><a href="Dieter_Klaua" title="Dieter Klaua">Dieter Klaua</a>: Kardinal- und Ordinalzahlen. Teil 2. Vieweg, Braunschweig 1974, ISBN 3-528-06141-3.<a href="#cite_note-Ax-43">[43]</a></li>

<li>D. Klaua: Allgemeine Mengenlehre. I., 1968 und II., 1969, Akademie Verlag Berlin.<a href="#cite_note-Ax-43">[43]</a></li>

<li>W. Sierpinski: Cardinal and ordinal numbers. 1965, ISBN 978-0-900318-02-3.</li>

<li>K. Kuratowski, A. Mostowski: Set theory. North-Holland, 1968, ISBN 978-0-7204-0470-8.<a href="#cite_note-44">[44]</a></li>

<li>M. Potter: Mengentheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1994, ISBN 3-86025-303-4.<a href="#cite_note-Ax-43">[43]</a></li>

<li>E. Jacobsthal: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002262355">Über den Aufbau der transfiniten Arithmetik.</a> In: Mathematische Annalen. 66, 1909, S. 145–194.</li>

<li>F. Hausdorff: <a href="Grundz%C3%BCge_der_Mengenlehre" title="Grundzüge der Mengenlehre">Grundzüge der Mengenlehre</a>. Chelsea Publishing Company, New York 1949.</li>

<li>I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1977, ISBN 3-87144-217-8. (Auch in digitaler Form auf Russisch bei <a rel="nofollow" class="external text" href="http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790">INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk</a>)</li></ul>

Weitere Quellen:

<ul><li>K. Schütte: Proof Theory. Springer, 1977, ISBN 0-387-07911-4.</li>

<li>A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel: Foundations of set theory. North-Holland Publishing Co., 1958.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Ordinalzahl" class="extiw external" title="wikt:Ordinalzahl">Wiktionary: Ordinalzahl</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li>Peter Hancock: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.lfcs.inf.ed.ac.uk/reports/00/ECS-LFCS-00-421/ECS-LFCS-00-421.pdf">Ordinals and Interactive Programs (pdf; 1,3 MB)</a>. University of Edinburgh, 2000</li>

<li><a href="Edmund_Weitz" title="Edmund Weitz">Edmund Weitz</a> (<a href="Hochschule_f%C3%BCr_Angewandte_Wissenschaften_Hamburg" title="Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg">HAW Hamburg</a>): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=UxhFy4deLQA">Unendlich plus eins - Was sind Ordinalzahlen?</a> auf <a href="YouTube" title="YouTube">YouTube</a>. 16. November 2020.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Anmerkungen">Einzelnachweise und Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-NatX-1">↑ <a href="#cite_ref-NatX_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-NatX_1-1">b</a> S. Natanson, 1977, Kapitel X., § 6.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> S. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/RiemannFunction.html">Riemann Function (bei MathWorld)</a>.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> in: Mathematische Annalen 5 (1872) S. 123–132

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> 2. Artikel in: Mathematische Annalen 17 (1880) 357f

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> in: Mathematische Annalen 21 (1883), S. 576f.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> in: Mathematische Annalen 46 (1895) Seite 499 und Mathematische Annalen 49 (1897) S. 207

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Was auch für die Mathematik insgesamt deshalb von Vorteil ist, weil dadurch zahlreiche weitere mathematische Begriffe eine mengentheoretische Interpretation erhalten.

</li>

<li id="cite_note-Mesch-8">↑ <a href="#cite_ref-Mesch_8-0">a</a> <a href="#cite_ref-Mesch_8-1">b</a> 15. August 1923 – Brief von Johann von Neumann an <a href="Ernst_Zermelo" title="Ernst Zermelo">Ernst Zermelo</a> (s. H. Meschkowski: Problemgeschichte der neueren Mathematik. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1978, ISBN 3-411-01542-X. XIV.1. sowie Tafel 10.)

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Genauer: nicht ohne Verwendung des sogenannten <a href="Zur%C3%BCckschneiden_durch_Rangbetrachtung" title="Zurückschneiden durch Rangbetrachtung">Zurückschneidens durch Rangbetrachtung</a> von <a href="Alfred_Tarski" title="Alfred Tarski">Alfred Tarski</a>, das aber seinerseits das Vorhandensein schon definierter Ordinalzahlen voraussetzt (s. Levy, 1979, II.7.7, II.7.13).

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> s. Bachmann, 1968, § 3.5

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Für nicht fundierte Mengenuniversen muss eine solche Funktion nicht unbedingt vorhanden sein.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> A. Fraenkel: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://link.springer.com/article/10.1007/BF01457986">Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre.</a> In: Mathematische Annalen. 86, 1922, S. 230–237

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> s. Deiser, 2004, 2.6., S. 256 u. 3.1, S. 433 sowie Bachmann, 1968, § 6., § 38., § 42.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> s. O. Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-45387-1, S. 382–386

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Für den Beweis, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20e29ac56d6cc52eaeb2f9c0bf79ef706428ddf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.5ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}}" loading="lazy"> eine Menge und keine echte Klasse ist, braucht man innerhalb von ZFC das Ersetzungsaxiom (s. Zuckerman, 1974, 5.12)

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Über die Ordinalzahlen im Sinne von Russell und <a href="Alfred_North_Whitehead" title="Alfred North Whitehead">Alfred North Whitehead</a> s.: J. Rosser: Logic for Mathematicians. McGraw-Hill Book Company, 1953, ISBN 0-8284-0294-9, XII.

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> W. Quine: New Foundations for Mathematical Logic. In: American Mathematical Monthly. 44, 1937, S. 70–80

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> D. Scott: Axiomatizing Set Theory. In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 13, 2, American Mathematical Society, 1971, S. 207–214

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> AM: Allgemeine Mengenlehre – s. <a href="Dieter_Klaua" title="Dieter Klaua">Klaua</a>, 1968 u. Klaua, 1969

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> s. Klaua, 1974 sowie D. Klaua: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN362162050_0092&DMDID=dmdlog17">Eine axiomatische Mengenlehre mit größtem Universum und Hyperklassen.</a> In: Monatshefte für Mathematik. 92, 3, 1981, S. 179–195.

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> s. Potter, 1994, 6.2

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Die Pseudoordinalzahlen sind zwar vor 1923 Zermelo und Mirimanoff bekannt gewesen. Sie haben aber innerhalb von ZFC an Bedeutung gewonnen, erst nachdem von Neumann erkannt hat, dass aus dem Ersetzungsaxiom die Existenz einer Rangfunktion für alle Mengen und einer Ordinalzahlfunktion für alle wohlgeordnete Mengen folgt. Deshalb sind heutzutage die Pseudoordinalzahlen vor allem durch den Begriff von Neumannsche Zahlen bekannt.

</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle x\mid \Phi (x)\rangle =\{x\mid \Phi (x)\land \forall y(\Phi (y)\implies D(x)\subseteq D(y))\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9da938bfa5315df0b294c25021e302749b775036.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.32ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle x\mid \Phi (x)\rangle =\{x\mid \Phi (x)\land \forall y(\Phi (y)\implies D(x)\subseteq D(y))\}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/673feaeac9e8b35e894bbbf229d219abf7d3e7d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.963ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(a)}" loading="lazy"> das bezüglich der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }" loading="lazy">-Relation kleinste Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{b\mid a\subseteq b\land T(b)\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{b\mid a\subseteq b\land T(b)\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a48d16e11c7ee1ac0ab9dbf5709da0b72abedff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.611ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{b\mid a\subseteq b\land T(b)\}}" loading="lazy"> ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {T}}(a):=\exists d(H(d)\land a={\textrm {acc}}(d))}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {T}}(a):=\exists d(H(d)\land a={\textrm {acc}}(d))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5828462b974eabecb7846ac1f0072e3a6bd915b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.032ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {T}}(a):=\exists d(H(d)\land a={\textrm {acc}}(d))}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {H}}(a):=(\forall d\in a)(d={\textrm {acc}}(d\cap a))}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {H}}(a):=(\forall d\in a)(d={\textrm {acc}}(d\cap a))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fa18c9572dc78932d47368aa1e901c26519e465.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.104ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {H}}(a):=(\forall d\in a)(d={\textrm {acc}}(d\cap a))}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {acc}}(a):=\{x\mid x\neq \{y\mid y\in x\}\lor (\exists b\in a)(x\in b\lor x\subseteq b)\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {acc}}(a):=\{x\mid x\neq \{y\mid y\in x\}\lor (\exists b\in a)(x\in b\lor x\subseteq b)\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5697c2ab904bf101b2b694ee63a7a7007306da61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:56.513ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {acc}}(a):=\{x\mid x\neq \{y\mid y\in x\}\lor (\exists b\in a)(x\in b\lor x\subseteq b)\}}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> S. Bachmann, 1967, § 4.3 sowie Deiser, 2004, 2.6, S. 257–258 und Enderton, 1977, Chapter 7, S. 182–194.

</li>

<li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> Definition aus Zermelos Nachlass 1915 laut: M. Hallett, Cantorian set theory and limitation of size, Oxford 1984, S. 277f. Diese Definition publizierte erst Paul Bernays, Zermelos damaliger Assistent in Zürich: Bernays, A System of Axiomatic Set Theory II, in: <a href="Journal_of_Symbolic_Logic" class="mw-redirect" title="Journal of Symbolic Logic">Journal of Symbolic Logic</a> 6 (1941), S. 6 und 10. Zermelo nannte noch die Bedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\in y\cup \{y\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\in y\cup \{y\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8da37768cb3e741dbd48dd0d90e224377562ef78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0\in y\cup \{y\}}" loading="lazy">, die sich aus der letzten Bedingung für die leere Teilmenge 0 ergibt.

</li>

<li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> M. Hallett: Cantorian set theory and limitation of size, Oxford 1984, S. 279, Definition aus Zermelos Nachlass von 1915, publiziert erst in: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm1615.pdf">E. Zermelo: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, in: Fundamenta Mathematicae 16 (1930)</a> (PDF; 1,5 MB), 29-47, Definition S. 31.

</li>

<li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> J. v. Neumann: Zur Einführung der transfiniten Zahlen, 1923, in: Acta scientiarum mathematicarum 1 (1922/23) 199-208, Definition S. 199f., ediert in: J. v. Neumann: Collected Works I, Oxford, London, New York, Paris 1961, S. 24–34. Dieselbe Definition auch in: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01459102">J. v. Neumann: Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, 1927, in: Mathematische Annalen 99 (1928)</a>, 373-391, Definition S. 378.

</li>

<li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> Die Definition geht auf eine Vorlesung Gödels in Wien 1937 zurück laut: Bernays, A System of Axiomatic Set Theory II, in: Journal of Symbolic Logic 6 (1941), S. 10.

</li>

<li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> R. M. Robinson: The theory of classes. A modification of von Neumann's System, in: Journal of Symbolic Logic 2 (1937), S. 29–36.

</li>

<li id="cite_note-30"><a href="#cite_ref-30">↑</a> Bernays, A System of Axiomatic Set Theory II, in: Journal of Symbolic Logic 6 (1941), S. 6.

</li>

<li id="cite_note-A.Levy-31">↑ <a href="#cite_ref-A.Levy_31-0">a</a> <a href="#cite_ref-A.Levy_31-1">b</a> <a href="#cite_ref-A.Levy_31-2">c</a> <a href="#cite_ref-A.Levy_31-3">d</a> s. Levy, 1979, II.2.14, II.3.11, II.3.12, II.3.13, II.3.16

</li>

<li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">↑</a> Eine Wohlordnungsrelation lässt sich auch zwischen Wohlordnungstypen definieren (zwischen Ordnungszahlen im Sinne von Cantor also). Eine wohlgeordnete Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> heißt kleiner (oder kürzer) als eine wohlgeordnete Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ordnungsisomorph zu einer echten Untermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist. Es sei die Vereinbarung getroffen, dass im weiteren, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt ist, unter Ordinalzahl eine Ordinalzahl im von Neumannschen Sinne gemeint sein wird und dass die Behauptungen, die aufgestellt werden, Sätze in ZF oder ZFC sind.

</li>

<li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">↑</a> Man beachte, dass Vereinigung (Durchschnitt) von Elementen einer Menge von transitiven Mengen transitiv ist.

</li>

<li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> Diese Behauptung ist von dem Fundierungsaxiom unabhängig.

</li>

<li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">↑</a> Gäbe es nämlich solche Zahlen nicht, dann wäre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\textrm {On}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\textrm {On}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/570c6701a8c9ab2fa42f8b4bb282edd622617769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\textrm {On}}}" loading="lazy"> Untermenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sup} S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sup} S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34f13990ad28430ecabc42d1be2cd2b8266ee4b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.388ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sup} S}" loading="lazy"> (eine echte Menge also).

</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> eine Ordinalzahl ist, die größer ist als alle Elemente der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\gamma \mid \gamma \leq \beta \}\setminus S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\gamma \mid \gamma \leq \beta \}\setminus S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d033a02bc7837b908d4afa073d398716f94dc90a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\gamma \mid \gamma \leq \beta \}\setminus S}" loading="lazy"> keine echte Klasse, sondern eine wohlgeordnete Menge und hat daher ein kleinstes Element.

</li>

<li id="cite_note-Bachmann-Grenze-37">↑ <a href="#cite_ref-Bachmann-Grenze_37-0">a</a> <a href="#cite_ref-Bachmann-Grenze_37-1">b</a> s. Bachmann, 1967, § 4.1.3., § 4.1.4

</li>

<li id="cite_note-38"><a href="#cite_ref-38">↑</a> Der englische Begriff dafür ist strict upper bound.

</li>

<li id="cite_note-Fall.F.-39">↑ <a href="#cite_ref-Fall.F._39-0">a</a> <a href="#cite_ref-Fall.F._39-1">b</a> <a href="#cite_ref-Fall.F._39-2">c</a> s. Komjath, Tototik, 2006, 8.2, 8.3, 8.18

</li>

<li id="cite_note-40"><a href="#cite_ref-40">↑</a> s. zum Beispiel Schütte, 1997 und Deutsch, 1999, S. 308–309

</li>

<li id="cite_note-41"><a href="#cite_ref-41">↑</a> s. Forster, 2003, 7.1; vgl. auch mit I. Phillips: Recursion Theory. In: S. Abramsky, D. Gabbay, T. Maibaum (Hrsg.): Handbook of Logic in Computer Science. Vol. 1, Oxford University Press, 1992, ISBN 0-19-853735-2 sowie <a href="Stephen_A._Cook" title="Stephen A. Cook">Stephen A. Cook</a>, <a href="Hao_Wang_(Mathematiker)" title="Hao Wang (Mathematiker)">Hao Wang</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF01351806.pdf">Characterizations of Ordinal Numbers in Set Theory.</a> Mathematische Annalen, 164, 1, 1966

</li>

<li id="cite_note-42"><a href="#cite_ref-42">↑</a> Dies lässt sich allerdings ohne das <a href="Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxiom</a> nicht beweisen, siehe Kenneth Kunen: Set Theory, North Holland, Amsterdam 1980, S. 30 und 33

</li>

<li id="cite_note-Ax-43">↑ <a href="#cite_ref-Ax_43-0">a</a> <a href="#cite_ref-Ax_43-1">b</a> <a href="#cite_ref-Ax_43-2">c</a> Diesem Buch liegt ein spezielles Axiomensystem zugrunde.

</li>

<li id="cite_note-44"><a href="#cite_ref-44">↑</a> In diesem Buch wird nirgendwo das Fundierungsaxiom verwendet.

</li>

</ol></div>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4172728-9">4172728-9</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-03-17" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Ordinalzahl&oldid=254286899">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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